$H^{-1}(\Omega)$이 $H_0^1(\Omega)$보다 큰 예시: 델타 분포

이 포스팅에서는 $H^{-1}(\Omega)$가 $H_0^1(\Omega)$보다 큰 공간임을, 즉 $H_0^1(\Omega) \subsetneq H^{-1}(\Omega)$임을 보이도록 하겠습니다.

 

1차원 도메인 $\Omega = (0, 1)$을 고려해 봅시다. $H^{-1}(\Omega)$는 $H_0^1(\Omega)$의 쌍대공간으로서, $H_0^1(\Omega)$의 연속 선형함수들의 공간입니다. $H^{-1}(\Omega)$가 $H_0^1(\Omega)$보다 큰 공간임을 보이기 위해, $H^{-1}(\Omega)$에 속하지만 $H_0^1(\Omega)$에 속하지 않는 원소가 존재함을 보여줄 것입니다.

 

우선 델타 분포를 생각해 봅시다. $C_c^\infty(\Omega)$ (컴팩트한 지원을 가지는 미분가능한 함수들의 집합) 상에서 정의된 선형함수 $\delta$ (델타 분포, delta distribution) 는 다음과 같이 정의됩니다.

\begin{equation}
\delta(f):=f(0)
\end{equation}

모든 $f \in C_c^\infty(\Omega)$에 대해 위의 식이 성립합니다. 델타 분포는 $H_0^1(\Omega)$의 원소가 아니며, 일반적으로 $L^p$-함수로 표현되지 않습니다. (이에 대한 증명은 [1]을 참고)

 

이제 $\delta(x)$의 작용을 $H_0^1(\Omega)$로 확장해 봅시다. 이를 위해서는 $u \in H_0^1(\Omega)$의 경우, $C_c^\infty(\Omega)$에서 $u$로 수렴하는 함수열 ${u_n}$을 고려할 수 있습니다. 그리고 델타 분포의 $u$에 대한 작용을 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

\begin{equation}
\delta(u):=\lim _{n \rightarrow \infty} \delta\left(u_n\right)
\end{equation}

여기서 $\delta(u_n) = u_n(0)$입니다. 이러한 작용은 $H_0^1(\Omega)$ 위에서 잘 정의되며, 선형성과 연속성을 가집니다.

이 작용이 잘 정의되었음을 보이기 위해서는 ${u_n}$이 $C_c^\infty(\Omega)$에서 $u$로 수렴할 때, $\delta(u_n)$의 극한이 $\delta(u)$와 일치함을 보여줘야 합니다. 이를 위해서는 ${v_n}$이 또 다른 $C_c^\infty(U)$에서 $u$로 수렴하는 함수열일 때, $\delta(v_n)$의 극한이 $\delta(u_n) \rightarrow u$가 $H_0^1(\Omega)$에서 성립한다고 가정합시다. 이때, 다음 식이 성립합니다.

\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow\infty}|u_n-v_n|_{H_0^1(U)}=0 \end{equation*}

즉, $u_n$과 $v_n$은 모두 $H_0^1(\Omega)$에서 $u$로 수렴합니다. 이제 다음을 보여주어야 합니다.

\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow\infty}\delta(u_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}\delta(v_n) \end{equation*}

이를 위해 $u_n(0)-v_n(0) \rightarrow 0$임을 보여주어야 합니다. 이는 $u_n$과 $v_n$ 모두 $\Omega$의 경계에서 0이 되기 때문에 자명합니다. 따라서, $\delta$는 $H_0^1(\Omega)$에서 잘 정의됩니다. 즉, $\delta \in H^{-1}(\Omega)$입니다.

 

정리하면, 우리는 위에서 $\delta \in H^{-1}(\Omega)$이지만 $\delta \not\in H_0^1(\Omega)$임을 보였습니다. 이 예제는 $H^{-1}(\Omega)$가 $H_0^1(\Omega)$보다 큰 공간임을 보여줍니다.

 

 

참고문헌

[1] To be updated