훅의 법칙(Hooke's Law)

훅의 법칙(Hooke's Law)은 탄성체에 적용되는 기초적인 물리 법칙으로, 외부 힘에 의해 발생하는 응력과 변형률 사이의 비례 관계를 설명합니다. 이 법칙은 영국의 물리학자 로버트 훅(Robert Hooke)에 의해 제안되었습니다. 훅의 법칙은 탄성 한계 내에서만 적용되며, 재료가 탄성 변형을 겪을 때 유효합니다.

훅의 법칙 (Hooke's Law)

훅의 법칙은 다음과 같이 표현됩니다:

$$ \sigma = E \epsilon $$

여기서:

• ( \sigma )는 응력 (Stress)
• ( E )는 재료의 탄성 계수 (Elastic modulus) 또는 영률 (Young's modulus)
• ( \epsilon )는 변형률 (Strain)

세부 설명

1. 응력 (( \sigma )): 외부 힘이 단위 면적에 작용하는 힘을 나타냅니다. 단위는 파스칼(Pa) 또는 뉴턴/제곱미터(N/m²)입니다.
2. 변형률 (( \epsilon )): 외부 힘에 의해 발생하는 변형의 정도를 나타내며, 무차원 양입니다.
3. 탄성 계수 (( E )): 재료의 강도를 나타내는 물리적 상수로, 단위는 파스칼(Pa)입니다. 이는 재료가 얼마나 변형되기 쉬운지를 나타냅니다. 높은 값일수록 재료는 덜 변형됩니다.

예제

만약 특정 재료의 탄성 계수 ( E )가 200 GPa (기가파스칼)이고, 그 재료에 0.001의 변형률이 가해졌다면, 응력은 다음과 같이 계산됩니다:

$$ \sigma = E \epsilon = 200 \times 10^9 , \text{Pa} \times 0.001 = 200 \times 10^6 , \text{Pa} = 200 , \text{MPa} $$

한계와 조건

• 탄성 한계: 훅의 법칙은 재료가 탄성 한계를 넘지 않는 범위에서만 유효합니다. 탄성 한계를 넘어서면 재료는 비탄성 변형을 시작하며, 이 경우 훅의 법칙은 더 이상 적용되지 않습니다.
• 선형성: 훅의 법칙은 응력과 변형률 사이의 관계가 선형적일 때만 적용됩니다.

훅의 법칙은 재료의 거동을 예측하는 데 중요한 역할을 하며, 특히 구조공학, 기계공학, 재료과학 등에서 널리 사용됩니다.

응력(stress)과 변형률(strain) 사이의 관계가 선형적일 때와 비선형적일 때는 재료의 특성과 작용하는 하중의 크기에 따라 달라집니다. 이는 주로 탄성 한계(또는 항복점)를 기준으로 구분됩니다.

선형적 관계 (Linear Relationship)

훅의 법칙은 응력과 변형률 사이의 관계가 선형적일 때 적용됩니다. 이는 다음과 같은 조건에서 성립합니다:

1. 탄성 범위 내: 재료가 탄성 한계를 넘지 않는 범위 내에서 응력과 변형률의 관계는 선형적입니다. 이때 응력과 변형률은 비례 관계를 가집니다.
2. 작은 변형: 일반적으로 변형이 매우 작을 때 선형 관계가 유지됩니다.
3. 균질 재료: 재료가 균질하고 등방성일 때, 즉 물질의 모든 방향에서 성질이 동일할 때 선형성을 가집니다.

수학적으로, 선형적인 관계는 다음과 같이 표현됩니다:
$$ \sigma = E \epsilon $$
여기서 ( E )는 재료의 탄성 계수(영률)입니다.

비선형적 관계 (Non-linear Relationship)

응력과 변형률의 관계가 비선형적일 때는 다음과 같은 경우입니다:

1. 탄성 한계 초과: 재료가 탄성 한계를 초과하여 소성 변형(영구 변형)을 시작하면 응력과 변형률의 관계는 비선형적입니다. 이때는 훅의 법칙이 적용되지 않습니다.
2. 큰 변형: 변형이 큰 경우, 특히 재료가 소성 변형이나 파괴에 가까워질 때 비선형적인 거동이 나타납니다.
3. 복합 재료: 비균질 재료나 이방성 재료, 복합 재료 등에서는 비선형적인 관계가 나타날 수 있습니다.
4. 고체의 거동: 특정 재료의 특성상 응력-변형률 곡선이 비선형적인 경우도 있습니다. 예를 들어, 고무와 같은 고분자 재료는 비선형적인 응력-변형률 관계를 보입니다.

비선형적인 관계는 일반적으로 다음과 같은 형태로 표현될 수 있습니다:
$$ \sigma = f(\epsilon) $$
여기서 ( f )는 변형률에 대한 비선형 함수입니다.

예시

• 선형적 거동: 강철과 같은 금속은 작은 변형률 범위에서는 선형적인 응력-변형률 관계를 보입니다.
• 비선형적 거동: 고무와 같은 고분자 재료는 초기부터 비선형적인 거동을 나타내며, 큰 변형에서도 비선형성을 유지합니다.

요약하면, 응력과 변형률의 관계가 선형적인지 비선형적인지는 재료의 특성과 변형의 크기에 따라 결정됩니다. 선형적인 경우 훅의 법칙이 적용되며, 비선형적인 경우 재료의 복잡한 거동을 설명하는 다른 모델이 필요합니다.