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변분법, 라그랑지안, 그리고 작용변분법, 라그랑지안, 그리고 작용은 물리학에서 중요한 역할을 하는 개념들입니다. 이들은 자연의 법칙을 수학적으로 표현하고 이해하는 데 사용되며, 다양한 물리 현상을 설명하는 데 필수적인 도구입니다.변분법(Calculus of Variations)변분법은 함수의 형태를 최적화하는 수학적 기법입니다. 이는 주어진 함수의 함수(Functional)의 극값을 찾는 문제를 다룹니다. 변분법은 최소 작용 원리와 같은 물리학의 기본 원리를 수학적으로 표현하는 데 사용됩니다.작용(Action)작용 $S$는 시스템의 경로를 따라 통합된 라그랑지안 $L$로 정의됩니다. 이는 시스템의 움직임이나 변화를 설명하는 중요한 양입니다. 작용은 다음과 같이 정의됩니다:$$ S = \int_{t_1}^..

수학,물리/편미분방정식 2024. 5. 16. 06:48

이 포스팅에서는 $H^{-1}(\Omega)$가 $H_0^1(\Omega)$보다 큰 공간임을, 즉 $H_0^1(\Omega) \subsetneq H^{-1}(\Omega)$임을 보이도록 하겠습니다. 1차원 도메인 $\Omega = (0, 1)$을 고려해 봅시다. $H^{-1}(\Omega)$는 $H_0^1(\Omega)$의 쌍대공간으로서, $H_0^1(\Omega)$의 연속 선형함수들의 공간입니다. $H^{-1}(\Omega)$가 $H_0^1(\Omega)$보다 큰 공간임을 보이기 위해, $H^{-1}(\Omega)$에 속하지만 $H_0^1(\Omega)$에 속하지 않는 원소가 존재함을 보여줄 것입니다. 우선 델타 분포를 생각해 봅시다. $C_c^\infty(\Omega)$ (컴팩트한 지원을 가지는 미분..

수학,물리/편미분방정식 2023. 4. 5. 10:49