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CFL 조건의 의미와 중요성Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) 조건은 수치적 방법에서 시간과 공간 스텝 사이의 관계를 설정하여 수치 해의 안정성을 보장하는 조건입니다. 1930년대 Richard Courant, Kurt Friedrichs, Hans Lewy에 의해 제안된 이 조건은 수치 방법의 안정성 분석에서 핵심적인 역할을 합니다.CFL 조건의 정의CFL 조건은 대류 방정식의 유한 차분 방법을 사용할 때, 시간 스텝 ($\Delta t$)과 공간 스텝 ($\Delta x$) 간의 관계를 정의합니다. 기본적인 형태는 다음과 같습니다:$$\frac{c \Delta t}{\Delta x} \leq 1$$여기서:$c$는 대류 속도 (wave speed)$\Delta t$는 시간 스텝 (ti..

수학,물리/수치해석 2024. 5. 18. 21:22

선형 계획법(Linear Programming, LP)은 특정 조건을 만족시키면서 목표 함수를 최적화하는 수학적 방법입니다. 여기서 최적화란 주어진 자원을 가장 효율적으로 사용하여 최대 이익을 얻거나 비용을 최소화하는 것을 의미합니다. 선형 계획법은 경제학, 공학, 경영학 등 다양한 분야에서 활용됩니다.선형 계획법의 구성 요소목표 함수 (Objective Function):목표 함수는 최적화하려는 함수로, 보통 이익의 최대화 또는 비용의 최소화 형태를 가집니다. 일반적으로 다음과 같이 표현됩니다:$$Z = c_1x_1 + c_2x_2 + \cdots + c_nx_n$$여기서 $Z$는 목표 함수의 값, $c_i$는 각 변수 $x_i$의 계수입니다.제약 조건 (Constraints):제약 조건은 문제의 해가..

수학,물리/수치해석 2024. 5. 16. 06:39

정수 계획법 (Integer Programming)정수 계획법(Integer Programming, IP)은 자원 배분, 일정 계획, 네트워크 설계, 생산 계획 등 다양한 실세계 문제를 해결하는 데 사용되는 강력한 최적화 기법입니다. 정수 계획법은 의사결정 변수가 정수로 제한되는 최적화 문제를 다루며, 이러한 문제는 일반적으로 NP-난해(NP-hard) 문제로 분류됩니다.기본 개념정수 계획법의 주요 구성 요소는 다음과 같습니다:의사결정변수(Decision Variables): 문제의 결정을 나타내는 변수로서 정수 값을 가집니다.목적함수(Objective Function): 최적화하고자 하는 대상입니다. 최대화하거나 최소화할 수 있습니다.제약조건(Constraints): 의사결정변수가 만족해야 하는 조건들..

수학,물리/수치해석 2024. 5. 16. 06:31

기계 정밀도(machine precision)는 컴퓨터에서 표현할 수 있는 가장 작은 양수의 차이를 나타내며, 이는 숫자 연산의 정밀도를 제한합니다. Python의 NumPy 라이브러리에서는 일반적으로 float64라는 데이터 유형을 사용하여 부동 소수점 숫자를 표현합니다. float64 데이터 유형은 64비트 부동 소수점 숫자를 표현하며, 이는 숫자를 표현하는 데 64비트를 사용한다는 것을 의미합니다. 이 데이터 유형의 기계 정밀도는 일반적으로 (2.220446049250313 \times 10^{-16})으로 표현됩니다. 이 값은 float64 데이터 유형으로 표현할 수 있는 가장 작은 양수의 차이를 나타냅니다. NumPy에서 이 값은 다음과 같은 Python 코드를 사용하여 얻을 수 있습니다:imp..

수학,물리/수치해석 2023. 9. 8. 18:43

Semi-positive definiteness 행렬이 semi-positive definite라는 것은 그 행렬이 실수 대칭 행렬 (또는 적어도 그와 같은 특성을 갖는 행렬)이면서, 모든 eigenvalue가 0 이상이라는 것을 의미합니다. 구체적으로, 행렬 $A$가 semi-positive definite라면, 그 행렬의 모든 고유값 (eigenvalue) $\lambda_i$에 대해서 $\lambda_i \geq 0$ 입니다. 즉, semi-positive definite 행렬의 모든 eigenvalue는 0 이상이 되며, 이는 모든 선형 독립적인 벡터 $x$에 대하여 $x^T A x \geq 0$이 성립함을 의미합니다. 부동소수점 오차 컴퓨터의 부동 소수점 연산은 항상 미세한 오차를 동반합니다. ..

수학,물리/수치해석 2023. 8. 8. 12:23

$L_2$ 투영 $L_2$ 투영은 임의의 함수 $u \in L_2(\Omega)$를 유한 요소 공간 $V_h \subset L_2(\Omega)$로 간단하게 투영하는 것입니다, 여기서 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$는 도메인입니다. 수학적으로, 이는 다음과 같은 최소화 문제로 공식화될 수 있습니다: $u_h \in V_h$를 찾아서 $$J\left(u_h\right):=\frac{1}{2}\left|u_h-u\right|_{L_2(\Omega)}^2 \rightarrow \min$$ $J(\cdot)$은 볼록하기 때문에, 위의 문제의 해는 이 함수의 유일한 임계점입니다. 위의 함수의 프레셔 도함수 $D J\left(u_h\right)(\cdot)=\left(u_h-u, \cdot\r..

수학,물리/수치해석 2023. 7. 1. 21:35

시간 미분을 계산하는 것은 많은 과학 및 공학 분야에서 중요한 작업입니다. 이는 물리학, 공학, 컴퓨터 과학 등에서 주로 사용되는 시간에 따라 변하는 양을 모델링하는 데 필요합니다. 이 글에서는 시간 미분을 수치적으로 계산하는 몇 가지 방법에 대해 설명하겠습니다. 1. 전진 차분 (Forward Difference) 가장 간단한 방법은 전진 차분 방법입니다. 이 방법은 다음과 같이 계산됩니다: drho = (rho_next - rho) / dt여기서 rho_next는 다음 시간 스텝에서의 값이고, rho는 현재 시간 스텝에서의 값입니다. dt는 두 시간 스텝 사이의 간격입니다. 이 방법은 간단하고 빠르지만, 오차가 크게 나타날 수 있습니다. 2. 중앙 차분 (Central Difference) 오차를 줄..

수학,물리/수치해석 2023. 6. 16. 23:06

PDEs(Partial Differential Equations)는 많은 과학, 공학 및 수학 분야에서 중요한 역할을 합니다. 그러나 대부분의 PDE는 해석적으로 풀기 매우 어렵거나 불가능합니다. 해석적 방법이란, 공식을 사용하여 정확한 해를 찾는 방법입니다. 예를 들어, 일반적인 이차 방정식은 공식을 사용하여 해를 찾을 수 있습니다. 그러나 대부분의 PDE는 이런 방식으로 풀 수 없습니다. 특히, 비선형이거나 고차의 PDE, 혹은 초기-경계 조건 문제에서는 그렇습니다. 따라서 사람들은 수치 해석적 방법을 개발하기 시작했습니다. 이 방법들은 PDE를 유한 차분, 유한 요소, 유한 볼륨, 경계 요소 등의 방법으로 근사화합니다. 이런 방식으로 문제를 풀면, 컴퓨터를 이용해 근사적인 해를 구할 수 있습니다. ..

수학,물리/수치해석 2023. 6. 15. 12:57