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원문: https://www.quantamagazine.org/mathematicians-coax-fluid-equations-into-nonphysical-solutions-20220502/ Mathematicians Coax Fluid Equations Into Nonphysical Solutions | Quanta Magazine The famed Navier-Stokes equations can lead to cases where more than one result is possible, but only in an extremely narrow set of situations. www.quantamagazine.org Mathematicians Coax Fluid Equations Into No..

수학,물리/연속체역학 2023. 11. 14. 22:31

이 포스팅에서는 유체의 모션(motion)을 기술하는 방정식인 오일러 방정식(Euler equations)을 유도해보겠습니다. 유체가 채워져있는 영역 $D \subset \mathbb{R}^3$를 생각하겠습니다. 시간 $t>0$에서 $\mathbf{x} \in D$를 지나는 유체의 입자를 생각해보겠습니다. 유클리드 좌표계를 도입하면 $\mathbf{x}=(x,y,z)$라고 표현할 수 있습니다. 이 입자가 유체의 흐름을 따라 움직이고 있다고 상상해보겠습니다. 이 흐름의 궤적(trajectory)는 잘 정의되어있다고 가정합니다. 이제 $\mathbf{u}(\mathbf{x},t)$를 이 입자가 $t$ 시점에 $\mathbf{x}$를 통과하는 순간의 의 속도라고 하겠습니다. 이제부터 영역 $D$를 유체 자체로..

수학,물리/연속체역학 2023. 11. 10. 17:53

텐서는 복잡한 다차원 데이터를 표현하고 조작하는 강력한 수학적 도구입니다. 수학, 물리학, 공학 등의 다양한 분야에서 활용되며, 특히 기하학적 변환과 물리적 상태를 표현하는 데에 있어 필수적인 요소입니다. 이번 포스팅에서는 n차 텐서를 정의하는 두 가지 방법을 알아보고, 그것들이 어떻게 상호 관련이 있는지 탐구해보겠습니다. ### 1. 다중선형 형식(Multilinear Form)으로서의 n차 텐서 다중선형 형식으로서의 텐서는 다음과 같은 형태로 정의됩니다. $$ T:V \times V \times \cdots \times V \rightarrow \mathbb{R} $$ 여기서 $T$는 n개의 벡터 공간 $V$의 직적(direct product)을 실수 $\mathbb{R}$에 매핑하는 함수입니다. 다..

수학,물리/연속체역학 2023. 11. 9. 17:59

우리가 일상적으로 경험하는 많은 물리적 현상은 벡터의 언어로 풀어낼 수 있습니다. 힘의 방향과 크기, 속도가 어디로 얼마나 빠르게 변하는지, 가속도가 주어진 물체에 어떻게 작용하는지 등은 모두 벡터로 표현이 가능합니다. 하지만, 모든 물리량이 이렇게 간단하게 벡터로 설명될 수 있는 것은 아닙니다. 특히 연속체 역학에서 우리는 벡터로 표현하기 어려운 물리량들을 마주하게 됩니다. 응력(stress)과 변형률(strain)은 바로 그런 예입니다. 이들은 단순한 방향과 크기로는 충분히 설명할 수 없는 더 복잡한 상호작용과 내부 구조를 가지고 있습니다. 이런 복잡성을 설명하기 위해 우리는 '텐서(tensor)'라는 개념을 도입합니다. 벡터와 텐서선형변환은 벡터 공간에서 정의되며, 벡터를 다른 벡터로 매핑하는 함수..

수학,물리/연속체역학 2023. 11. 9. 14:09

충격파란? 연속체 역학에서의 shock wave(충격파)는 유체 흐름에 관련된 중요한 현상입니다. 유체가 속도에 따라 압축 가능한 경우, 빠르게 움직이는 유체가 느리게 움직이는 유체를 만나면 충격파가 발생할 수 있습니다. 충격파는 일반적으로 유체의 압력, 밀도, 속도가 극단적으로 변화하는 지점에서 발생하는 강력한 변화를 설명하는 데 사용되는 용어입니다. 이러한 극단적인 변화는 짧은 거리와 시간 동안 발생하며, 공기와 같은 매질을 통해 전달되는 에너지의 급격한 변화를 나타냅니다. 예를 들어, 초음속 비행기는 공기를 통해 움직일 때, 앞서 가는 비행기로부터 공기가 충분히 빨리 이동하지 못하므로, 비행기 주위에 공기가 압축되어 충격파를 형성합니다. 이 충격파는 소리보다 빠른 속도로 공기 중을 진행하며, 우리가..

수학,물리/연속체역학 2023. 7. 1. 21:29