$L_2$ 직교사영(orthogonal projection)

$L_2$ 투영

$L_2$ 투영은 임의의 함수 $u \in L_2(\Omega)$를 유한 요소 공간 $V_h \subset L_2(\Omega)$로 간단하게 투영하는 것입니다, 여기서 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$는 도메인입니다. 수학적으로, 이는 다음과 같은 최소화 문제로 공식화될 수 있습니다:
$u_h \in V_h$를 찾아서
$$J\left(u_h\right):=\frac{1}{2}\left|u_h-u\right|_{L_2(\Omega)}^2 \rightarrow \min$$
$J(\cdot)$은 볼록하기 때문에, 위의 문제의 해는 이 함수의 유일한 임계점입니다. 위의 함수의 프레셔 도함수 $D J\left(u_h\right)(\cdot)=\left(u_h-u, \cdot\right)$를 사용하여, 필요한 최적성 조건은 다음과 같이 읽힙니다.
$$D J\left(u_h\right) v_h=\left(u_h-u, v_h\right)=0 \quad \text { for all } v_h \in V_h$$
또는 동일하게
$$\left(u_h, v_h\right)=\left(u, v_h\right) \quad \text { for all } v_h \in V_h$$
일반적인 유한 요소 방법을 사용하여 근사하면, 이 시스템의 이산화된 대응 항목은 다음과 같습니다.
$$M x=b$$
여기서

• $M$은 질량 행렬로서, $m_{i j}=\left(\varphi_j, \varphi_i\right)$에 의해 정의됩니다.
• $\left{\varphi_i\right}$은 유한 요소 공간 $V_h$의 기저입니다.
• $x$는 $u_h=\sum_i x_i \varphi_i$의 자유도를 가진 벡터입니다.
• $b$의 구성 요소는 $b_i=\left(u, \varphi_i\right)$에 의해 정의됩니다.