정수 계획법(Integer Programming, IP)은 자원 배분, 일정 계획, 네트워크 설계, 생산 계획 등 다양한 실세계 문제를 해결하는 데 사용되는 강력한 최적화 기법입니다. 정수 계획법은 의사결정 변수가 정수로 제한되는 최적화 문제를 다루며, 이러한 문제는 일반적으로 NP-난해(NP-hard) 문제로 분류됩니다.
정수 계획법의 주요 구성 요소는 다음과 같습니다:
일반적인 정수 계획법 문제는 다음과 같이 공식화할 수 있습니다:
여기서 $ x $는 정수 변수 벡터, $ c $는 계수 벡터, $ A $는 계수 행렬, $ b $는 상수 벡터입니다.
정수 계획법은 문제의 성격에 따라 다음과 같이 분류할 수 있습니다:
구체적인 예제를 통해 정수 계획법의 적용을 살펴보겠습니다. 두 가지 제품을 생산하는 공장을 고려해 봅시다. 각 제품의 생산 비용, 시간, 이익, 그리고 제한된 자원이 주어져 있습니다. 목표는 이익을 최대화하는 것입니다.
데이터 설정:
문제 공식화:
여기서
더 복잡한 문제로 "이중 배낭 문제(Double Knapsack Problem)"를 살펴보겠습니다. 두 개의 배낭이 있고, 각 배낭에는 최대 용량이 있습니다. 여러 개의 아이템이 있으며, 각 아이템은 특정한 무게와 가치를 가집니다. 목표는 두 배낭에 아이템들을 배치하여 총 가치를 최대화하는 것입니다.
데이터 설정:
문제 공식화:
정수 계획 문제는 다양한 알고리즘을 통해 해결할 수 있습니다:
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