텐서: 응력과 변형률을 이해하는 핵심 도구

 

 
우리가 일상적으로 경험하는 많은 물리적 현상은 벡터의 언어로 풀어낼 수 있습니다. 힘의 방향과 크기, 속도가 어디로 얼마나 빠르게 변하는지, 가속도가 주어진 물체에 어떻게 작용하는지 등은 모두 벡터로 표현이 가능합니다.

하지만, 모든 물리량이 이렇게 간단하게 벡터로 설명될 수 있는 것은 아닙니다. 특히 연속체 역학에서 우리는 벡터로 표현하기 어려운 물리량들을 마주하게 됩니다. 응력(stress)과 변형률(strain)은 바로 그런 예입니다. 이들은 단순한 방향과 크기로는 충분히 설명할 수 없는 더 복잡한 상호작용과 내부 구조를 가지고 있습니다. 이런 복잡성을 설명하기 위해 우리는 '텐서(tensor)'라는 개념을 도입합니다.

벡터와 텐서

선형변환은 벡터 공간에서 정의되며, 벡터를 다른 벡터로 매핑하는 함수입니다. 이를 수식으로 표현하면, 두 벡터 공간 $V$와 $W$ 사이의 선형변환 $T$는 다음과 같은 두 성질을 만족하는 함수입니다:

1. 가산성 (Additivity): 모든 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$에 대해, $T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$.
2. 동차성 (Homogeneity): 모든 $\mathbf{v} \in V$와 스칼라 $c$에 대해, $T(c\mathbf{v}) = cT(\mathbf{v})$.

이러한 선형변환을 행렬로 표현할 때, 이 행렬은 $T$의 작용을 벡터에 적용하는 연산자로서 작용합니다. 예를 들어, $T: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$이라고 할 때, 벡터 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$에 대해, $T$의 결과는 다음과 같이 행렬-벡터 곱셈으로 표현됩니다:

$$ T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} $$

여기서 $A$는 $m \times n$ 크기의 행렬이고, $\mathbf{x}$는 $n$차원 벡터입니다.

텐서는 이 선형변환의 개념을 더 높은 차원으로 확장합니다. 예를 들어, 2차 텐서는 행렬과 유사하지만, 벡터뿐만 아니라 행렬이나 더 높은 차원의 텐서에도 선형변환을 적용할 수 있습니다.

고차원에서 텐서는 여러 벡터 공간의 원소들 사이의 다중선형 매핑을 나타냅니다. $k$-차 텐서는 $k$개의 벡터 공간 $V_1, V_2, \ldots, V_k$의 벡터들에 대한 다중선형 매핑으로 생각할 수 있습니다:

$$ T: V_1 \times V_2 \times \ldots \times V_k \rightarrow \mathbb{R} $$

여기서 $T$는 다음과 같은 다중선형성을 만족합니다:

- 각 인자에 대해 선형이다, 즉 $V_i$의 임의의 벡터 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$와 스칼라 $c$에 대해 다음을 만족한다.

$$ T(\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{u} + \mathbf{v}, \ldots, \mathbf{v}_k) = T(\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{u}, \ldots, \mathbf{v}_k) + T(\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}, \ldots, \mathbf{v}_k) $$

$$ T(\mathbf{v}_1, \ldots, c\mathbf{u}, \ldots, \mathbf{v}_k) = cT(\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{u}, \ldots, \mathbf{v}_k) $$

고차 텐서는 이러한 다중선형성을 이용하여, 복잡한 상호작용과 관계를 모델링하는 데 사용됩니다. 예를 들어, 3차 텐서는 세 개의 벡터 인자에 대해 선형적으로 매핑되고, 이는 물리학에서 특정 형태의 상호작용이나 컴퓨터 그래픽스에서 RGB 색상의 혼합 등에 응용될 수 있습니다.

텐서의 각 성분은 기저 벡터의 외적(outer product)을 통해 나타낼 수 있습니다. 예를 들어, 2차 텐서는 다음과 같이 표현될 수 있습니다:

$$ T = T_{ij} \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j $$

여기서 $\mathbf{e}_i$와 $\mathbf{e}_j$ 는 기저 벡터이며,  $T_{ij}$는 해당 기저에 대한 텐서의 성분입니다. $\otimes$는 외적을 의미합니다. 이러한 텐서는 행렬 표현으로도 나타낼 수 있습니다. 2차 텐서의 경우, 행렬 표현은 다음과 같은 2차원 배열로 표현됩니다:

$$
\begin{bmatrix}
T_{11} & T_{12} & \cdots & T_{1n} \\
T_{21} & T_{22} & \cdots & T_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
T_{m1} & T_{m2} & \cdots & T_{mn}
\end{bmatrix}
$$

여기서 $T_{ij}$ 성분들은 텐서 $T$의 $i$번째 행과 $j$번째 열에 해당하는 요소를 나타냅니다. 이러한 행렬 표현은 텐서가 표현하는 다차원적 데이터나 관계를 좀 더 직관적으로 이해할 수 있게 해줍니다. 행렬 표현은 특히 컴퓨터 과학과 공학에서 계산과 알고리즘 설계에 유용하게 사용됩니다.
 

출처: 위키피디아

 

응력 (Stress)

응력은 물체의 단위 면적당 힘의 분포를 나타내고, 변형률은 물체가 어떻게 변형되는지를 나타냅니다. 이러한 물리량들은 방향성을 갖지만, 단일한 벡터로는 그 특성을 완전히 기술할 수 없습니다. 왜냐하면 이들은 여러 방향으로의 힘과 변형을 동시에 고려해야 하기 때문입니다.

응력 텐서는 다음과 같은 형태를 가집니다:

$$
\sigma = \begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\
\sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\
\sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz}
\end{bmatrix}
$$

각 성분은 물체의 주어진 면에 대해 서로 다른 방향으로 작용하는 응력을 나타냅니다. 이를 통해 물리학자와 엔지니어는 복잡한 구조물이 어떻게 힘을 받고 반응하는지를 정밀하게 계산할 수 있습니다.

응력(stress)의 개념은 연속체 역학(continuum mechanics)에서 중요한 역할을 합니다. 물질 내부의 모든 점에서의 응력 상태는 응력 텐서(stress tensor)라는 수학적 구조를 사용하여 완전히 기술됩니다. 응력 텐서는 어떤 단면에 대한 응력 상태를 벡터(vector)로 변환하는 선형 맵(linear map)을 나타냅니다. 

Cauchy가 발견한 바와 같이, 어떤 표면에 걸리는 응력 벡터는 그 표면의 단위 법선 벡터(normal vector)에 대한 선형 함수로 나타낼 수 있습니다. 여기서 $\boldsymbol{\sigma}$는 응력 텐서를 나타내며, 이 텐서는 물질 내부의 응력 상태를 완전히 기술합니다.

응력 텐서는 특정한 카테시안 좌표계(Cartesian coordinate system)에서는 $3 \times 3$ 실수 행렬(real number matrix)로 나타낼 수 있으며, 각 요소는 다음과 같이 해석됩니다:

- 대각 요소(diagonal elements) $\sigma_{xx}, \sigma_{yy}, \sigma_{zz}$ 또는 $\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}$: 이들은 각각 $x, y, z$ 방향의 면에 수직인 방향의 정규 응력(normal stresses)을 나타냅니다. 이들은 해당 방향으로 물질을 늘리거나 압축하는 효과를 미칩니다.

- 비대각 요소(off-diagonal elements) $\sigma_{xy}, \sigma_{xz}, \sigma_{yz}$ 등: 이들은 전단 응력(shear stresses)을 나타내며, 물체를 왜곡하는데 기여합니다. 두 지수는 각각 면의 방향과 그 면에 평행한 방향의 전단력을 나타냅니다. 예를 들어, $\sigma_{xy}$는 $x$ 방향의 면에 평행하고 $y$ 방향으로 작용하는 전단력을 나타냅니다.

응력 텐서의 성질로 인해, $\sigma_{ij} = \sigma_{ji}$ (응력 텐서의 대칭성)을 만족합니다. 이는 보존 법칙(conservation laws), 즉 선형 운동량의 보존과 각운동량의 보존으로부터 유도됩니다. 따라서, 응력 텐서는 9개의 독립적인 요소를 가질 수 있지만, 대칭성 때문에 실제로는 6개의 독립적인 요소만으로 응력 상태를 완전히 기술할 수 있습니다. 

요약하면, 연속체 내의 임의의 점에서의 응력 상태는 이 6개의 독립적인 파라미터를 통해 완전히 정의될 수 있으며, 이를 통해 물질의 변형이나 파손과 같은 거동을 예측하는 데 사용될 수 있습니다.

출처: 위키피디아

변형률 (Strain)

변형률 텐서는 물체의 변형을 정량적으로 기술하는 데 사용되는 중요한 물리량입니다. 물체가 외부 힘의 영향으로 변형될 때, 이 변형률은 물체 내 각 점에서의 길이 변화와 각도 변화를 나타내는 데 사용됩니다.

변형률 텐서의 수학적 표현은 다음과 같습니다:

$$
\varepsilon = \begin{bmatrix}
\varepsilon_{xx} & \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xz} \\
\varepsilon_{yx} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{yz} \\
\varepsilon_{zx} & \varepsilon_{zy} & \varepsilon_{zz}
\end{bmatrix}
$$

각 성분의 물리적 의미는 다음과 같습니다:

- $\varepsilon_{xx}$, $\varepsilon_{yy}$, $\varepsilon_{zz}$ (대각 성분): 이 성분들은 각각 $x, y, z$ 방향의 선형 변형률을 나타내며, 원래 길이에 대한 길이 변화의 비율을 나타냅니다. 예를 들어, $\varepsilon_{xx}$는 $x$ 방향으로의 단위 길이당 길이 변화를 의미합니다.

- $\varepsilon_{xy}$, $\varepsilon_{xz}$, $\varepsilon_{yz}$ 등 (비대각 성분): 이 성분들은 물체의 각도 변화를 나타내는 전단 변형률을 나타냅니다. 예를 들어, $\varepsilon_{xy}$는 $x$와 $y$ 방향 사이의 변형으로 인한 각도 변화의 반을 나타냅니다. 전단 변형률은 두 축 사이의 각도가 변화하는 것을 의미하며, 물체가 왜곡되는 정도를 나타냅니다.

역학적인 측면에서, 변형률 텐서는 재료가 외부 힘에 의해 어떻게 변형되는지를 예측하는 데 필수적입니다. 이 텐서를 사용하여 엔지니어들은 구조물이나 재료의 안전성, 변형 가능성, 그리고 파괴 전의 거동을 평가할 수 있습니다.

변형률 텐서는 보통 대칭 텐서로 가정됩니다. 즉, $\varepsilon_{ij} = \varepsilon_{ji}$를 만족합니다. 이는 변형률이 변위의 기울기를 기반으로 계산되며, 물리적으로 변형된 물체의 각운동량이 보존된다는 것을 반영합니다. 따라서 9개의 성분 중 실제 독립적인 요소는 6개뿐입니다.

이러한 변형률 텐서는 재료의 탄성 이론 (Elasticity Theory), 플라스틱 이론 (Plasticity Theory), 점탄성 이론 (Viscoelasticity Theory) 등 다양한 재료의 거동 이론에 있어 핵심적인 변수로 활용되며, 복잡한 재료의 응답을 모델링하는 데 중요한 역할을 합니다.

훅의 법칙(Hooke's law)과 텐서의 필요성

훅의 법칙은 가장 기본적인 탄성 이론으로, 재료의 변형률과 그에 따른 응력 사이의 관계를 설명합니다. 1차원에서, 즉 우리가 일상적으로 생각하는 용수철과 같은 경우, 이 법칙은 매우 간단합니다. 용수철의 길이 변화가 $x$이고 복원력이 $F$라면, 훅의 법칙은 다음과 같이 표현됩니다.

$$
F = -kx
$$

여기서 $k$는 용수철 상수로, 재료의 탄성을 나타내는 상수입니다. 이 식은 변형이 작을 때 용수철의 길이와 복원력 사이에 선형 관계가 있음을 나타냅니다. 복원력은 변형에 반비례하여 작용하며, 이는 일차원적인 관점에서의 탄성 거동을 잘 설명합니다.

그러나 실제 재료는 1차원으로 제한되지 않고, 3차원 공간에서 다양한 방향으로 변형될 수 있습니다. 이러한 고차원에서의 재료 거동을 설명하기 위해서는 훅의 법칙을 확장할 필요가 있습니다. 이 때 필요한 것이 바로 텐서입니다.
 

훅의 법칙 (출처: 위키피디아)

고차원에서의 훅의 법칙은 응력 텐서($\sigma$)와 변형률 텐서($\varepsilon$)를 사용하여 표현됩니다. 이들은 각각 재료 내부에 작용하는 힘과 재료의 변형률을 다차원적으로 기술하는 물리량입니다. 고차원의 훅의 법칙은 다음과 같이 일반화될 수 있습니다.

$$
\sigma = \textbf{C}:\varepsilon
$$

여기서 $\textbf{C}$는 재료의 탄성계수 텐서로, 재료의 탄성 특성을 다차원적으로 설명하는 4차 텐서입니다. 콜론(:)은 텐서곱을 나타내며, 이는 다차원에서 응력과 변형률 사이의 복잡한 관계를 나타내는 연산입니다. 이 곱셈은 다음과 같이 계산됩니다:

$$
(C : \varepsilon)_{ij} = \sum_{k,l} C_{ijkl} \varepsilon_{kl}
$$

이 식에서 $C_{ijkl}$은 탄성 텐서의 성분을 나타냅니다. 결과적으로, $(C : \varepsilon)_{ij}$는 $i$ 방향의 면에 작용하는 $j$ 방향의 응력을 나타냅니다.

결론

이렇게 텐서를 사용함으로써, 엔지니어들은 실제 3차원 재료의 복잡한 내부 응력 분포와 변형률 관계를 정확하게 예측하고 계산할 수 있습니다. 재료가 어떤 방향으로, 어느 정도의 힘을 받았을 때 어떻게 변형되고, 어떤 부분에 어떤 응력이 발생하는지를 다차원적으로 분석할 수 있는 것입니다.

이는 단순히 길이 변화와 복원력만을 고려하는 1차원적 접근보다 훨씬 정교하고 현실적인 설계 및 분석을 가능하게 합니다. 구조물의 설계, 항공기의 날개, 자동차의 차체와 같이 복잡한 3차원 형태와 부하 조건을 가진 시스템을 다룰 때 텐서는 필수적인 도구가 됩니다.

따라서, 텐서는 고차원에서 재료의 탄성 거동을 이해하고, 예측하는데 있어 필수적인 수학적 구조로, 훅의 법칙의 고차원 확장을 포함하여, 재료 과학, 역학, 그리고 공학 전반에 걸쳐 광범위하게 사용됩니다.
 
 

참고문헌

• Gonzalez, O., & Stuart, A. M. (2008). A First Course in Continuum Mechanics (1st ed., Vol. 42). Cambridge University Press.