오일러 방정식(Euler equations) 유도하기

이 포스팅에서는 유체의 모션(motion)을 기술하는 방정식인 오일러 방정식(Euler equations)을 유도해보겠습니다.

 

 

유체가 채워져있는 영역 $D \subset \mathbb{R}^3$를 생각하겠습니다. 시간 $t>0$에서 $\mathbf{x} \in D$를 지나는 유체의 입자를 생각해보겠습니다. 유클리드 좌표계를 도입하면 $\mathbf{x}=(x,y,z)$라고 표현할 수 있습니다. 이 입자가 유체의 흐름을 따라 움직이고 있다고 상상해보겠습니다. 이 흐름의 궤적(trajectory)는 잘 정의되어있다고 가정합니다. 이제 $\mathbf{u}(\mathbf{x},t)$를 이 입자가 $t$ 시점에 $\mathbf{x}$를 통과하는 순간의 의 속도라고 하겠습니다.

이제부터 영역 $D$를 유체 자체로 간주하겠습니다. 여기서는 유체의 질량이 균등하게 분포(uniformly distributed)되어있다고 가정합니다. 또한 이 유체의 부피는 변하지 않는다고 가정합니다. 즉 유체의 질량밀도를 $\rho=\rho(\mathbf{x},t), \mathbf{x} \in D, t\geq 0$라고 하면
$$ 
\rho(\mathbf{x},t) = \rho_{0}> 0 \quad \text{for all } \mathbf{x}\in D, t \geq 0
$$
가 성립합니다. 따라서 $\partial_{t}\rho \equiv 0$입니다.

Euler 방정식은 물리법칙인 질량보존법칙, 운동량보존법칙으로부터 유도됩니다.

질량보존법칙(conservation of mass)

먼저 임의의 부분영역 $W \subset D$를 생각하겠습니다. $W$에 속한 질량의 총량은
$$
m(W,t):=\int_{W}\rho(\mathbf{x},t)dV
$$
입니다. 질량보존법칙에 따르면 고립계에서 질량은 새롭게 생성되거나 사라지지 않으므로, $W$ 내부의 질량의 시간에 대한 변화량은 $W$의 경계로부터 들어오고 나간 질량의 총량과 일치해야합니다. 즉,
$$
\frac{d}{dt}\int_{W}\rho(\mathbf{x},t)dV = - \int_{\partial W} \rho \mathbf{u} \cdot \mathbf{n} dA
$$
가 성립합니다. 이때 $\mathbf{n}$은 곡면 $\partial W$에서 정의된 바깥방향의 단위법선벡터(outward unit normal vector)입니다. 여기서 우변의 부호($-$)는 나가는 방향을 기준으로 하겠다는 일종의 관습입니다. 위의 식은 모든 부분영역 $W$에 대해서 성립해야하므로, 이로부터
$$
\partial_{t}\rho(\mathbf{x},t) + \nabla\cdot (\rho \mathbf{u}) = 0
$$
를 얻을 수 있습니다. 이 방정식을 연속방정식(continuity equation)이라고 부릅니다.

운동량보존법칙(balance of momentum)

이제 유체의 흐름(flow)을 $\mathbf{x}(t)$로 나타내겠습니다. 그러면 이 유체가 시간 $t>0$에 $\mathbf{x}=\mathbf{x}(t)$를 지날 때의 속도 $\mathbf{u}$는
$$
\mathbf{u}(\mathbf{x}(t),t) = \frac{d}{dt}\mathbf{x}(t)
$$
입니다. 한편, 유체에는 두 가지 힘이 작용합니다.
- 몸체력(Body Force): 이는 유체의 각 부분에 균등하게 작용하는 힘입니다. 대표적인 예로는 중력이 있습니다. 이를 $\mathbf{b}$로 표기합니다.
- 표면력(Surface Force): 이는 유체의 표면에 작용하는 힘입니다. 표면장력과 같은 힘이 여기에 속합니다. 이를 $\mathbf{S}$로 표기합니다.

뉴턴의 제2법칙에 따라, 유체의 운동은 이 힘들에 의해 결정됩니다. 이를 수학적으로 표현하면, 유체 내의 임의의 부분영역 $W$에 대하여 다음과 같은 방정식이 성립합니다:
$$
\int_{W} \rho \partial_{t}\mathbf{u} dV = \int_{W} \mathbf{b} dV + \int_{\partial W} \mathbf{S} \cdot \mathbf{n} dA
$$
여기서 $S = -p \mathbf{n}$는 압력 $p$에 의한 스트레스 텐서(stress tensor), $\mathbf{n}$은 $\partial W$에서의 바깥방향의 단위법선벡터입니다.

이제 운동량의 법칙을 다시 쓰면, 다음과 같습니다:
$$
\int_{W} \rho \partial_{t}\mathbf{u} dV = \int_{W} \mathbf{b} dV - \int_{\partial W} p \mathbf{n} dA
$$

이를 가우스의 발산 정리(divergence theorem)를 사용하여 임의의 부분 영역 $W$에 대한 적분으로 바꾸면, Euler 방정식을 다음과 같이 유도할 수 있습니다:
$$
\rho \left( \partial_{t} \mathbf{u} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} \right) = \mathbf{b} - \nabla p
$$
이 식은 비점성(non-viscous), 비압축성(incompressible) 유체의 흐름을 기술합니다. 

 

 

참고문헌

• Gonzalez, O., & Stuart, A. M. (2008). A First Course in Continuum Mechanics (1st ed., Vol. 42). Cambridge University Press.
• Chorin, A. J., & Marsden, J. E. (1993). A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics (3rd ed., Texts in Applied Mathematics Vol. 4). Springer New York.