텐서의 이해: n차 텐서의 정의와 그 응용

텐서는 복잡한 다차원 데이터를 표현하고 조작하는 강력한 수학적 도구입니다. 수학, 물리학, 공학 등의 다양한 분야에서 활용되며, 특히 기하학적 변환과 물리적 상태를 표현하는 데에 있어 필수적인 요소입니다. 이번 포스팅에서는 n차 텐서를 정의하는 두 가지 방법을 알아보고, 그것들이 어떻게 상호 관련이 있는지 탐구해보겠습니다.

### 1. 다중선형 형식(Multilinear Form)으로서의 n차 텐서

다중선형 형식으로서의 텐서는 다음과 같은 형태로 정의됩니다.

$$T:V\times V\times \cdots \times V\to \mathbb{R}$$

여기서 $T$는 n개의 벡터 공간 $V$의 직적(direct product)을 실수 $\mathbb{R}$에 매핑하는 함수입니다. 다중선형 형식은 그 입력이 벡터들인 함수로, 각각의 벡터 공간에 있는 벡터를 하나씩 받아들여 실수 값을 돌려줍니다. 이 함수는 '다중선형'이라고 불리는데, 이는 각각의 입력에 대해서 선형적이라는 의미입니다. 즉, 한 입력 벡터를 고정하고 다른 입력이 변할 때, 결과는 후자의 선형 함수입니다. 

다중선형 형식의 특징을 수학적으로 설명하자면, 어떤 벡터를 고정시키고 다른 벡터에 대해 선형적인 결과를 나타내는 것입니다. 예를 들어, 두 변수 함수 $f(x,y)$가 x에 대해 선형이라면, $f(ax+b,y)=af(x,y)+bf(x,y)$가 됩니다. 다중선형 형식에서는 모든 변수에 대해 이러한 선형성이 만족됩니다.

### 2. 선형 변환(Linear Transformation)으로서의 텐서

연속체 역학에서는 텐서를 다음과 같이 선형 변환으로 정의하는 것이 효과적입니다.

$$\tilde{T}:V\to V$$

이 경우 $\tilde{T}$는 벡터 공간 $V$에서 자기 자신으로의 선형 변환을 나타냅니다. 선형 변환은 벡터를 다른 벡터로 변환하는 규칙으로, 두 가지 주요한 성질인 덧셈과 스칼라 곱에 대한 호환성을 만족시킵니다. 즉, $\tilde{T}(v+w)=\tilde{T}(v)+\tilde{T}(w)$ 그리고 $\tilde{T}(av)=a\tilde{T}(v)$가 모든 벡터 $v,w\in V$와 스칼라 $a$에 대해 성립합니다. 이러한 선형 변환은 일반적으로 두 번째 차수의 텐서로 간주됩니다.

### 두 정의의 동치관계

임의의 벡터 $v,w\in V$에 대해, $T(v,w):=v\cdot \tilde{T}w$라고 정의함으로써, $T$가 다중선형 형식임을 증명할 수 있습니다. 또한, $T$로부터 $\tilde{T}$를 유도하는 것도 직관적입니다. 벡터 $v$에 대해, $v\mapsto T(v,\cdot )$로 생각할 수 있기 때문입니다. 이러한 방식으로 두 정의는 서로 동등함을 알 수 있습니다.

### 연속체 역학에서 선형 변환 관점의 중요성

연속체 역학에서 선형 변환을 이용하는 이유는 그것이 행렬과의 일대일 대응을 이루고, 좌표계에 의존하지 않는 일반적인 표현을 가능하게 하기 때문입니다. 이는 물리 법칙을 좀 더 간결하고 보편적인 언어로 기술할 수 있게 해줍니다.

연속체 역학에서 텐서를 이용하는 대표적인 예는 훅의 법칙(Hooke's Law)을 일반화한 탄성 이론에서 찾아볼 수 있습니다. 훅의 법칙은 원래 "탄성체의 변형량은 탄성체에 가해진 힘에 비례한다"는 매우 간단한 형태로 표현되지만, 이를 3차원 연속체에 적용할 때는 훨씬 복잡해집니다.

일반적으로, 3차원 연속체 내의 점에 대해, 그 점에서의 응력(stress)과 변형(strain) 사이의 관계를 나타내는 물리 법칙을 선형 탄성 이론에서는 텐서로 표현합니다.

### 응력 텐서와 변형 텐서

응력 텐서(σ)는 내부적으로 물체에 작용하는 힘의 분포를 나타내며, 변형 텐서(ε)는 물체의 변형 정도를 나타냅니다. 이 두 텐서는 일반화된 훅의 법칙에 의해 연결됩니다.

### 일반화된 훅의 법칙

일반화된 훅의 법칙은 다음과 같은 행렬 형식의 선형 변환으로 표현됩니다.

$$\sigma =C:ϵ$$

여기서 C는 탄성 텐서로, 물체의 탄성 특성을 나타내는 4차 텐서입니다. 이 방정식은 각 점에서의 응력이 그 점에서의 변형과 어떻게 관련되어 있는지를 설명합니다.

### 예시: 단일 방향에 대한 훅의 법칙

예를 들어, 단일 방향으로 물체를 늘이는 경우를 생각해봅시다. 이 경우 응력과 변형은 1차원 벡터로 표현될 수 있으며, 간단한 선형 변환으로 연결됩니다.

$$\sigma =E\cdot ϵ$$

E는 탄성 계수(Young's modulus)로, 물체의 탄성을 나타내는 스칼라 값입니다. 이 식은 1차원에서의 훅의 법칙을 나타내며, 응력이 탄성 계수와 변형의 곱으로 표현됨을 보여줍니다.

### 다차원적 접근

그러나 물체가 여러 방향으로 동시에 힘을 받는 경우, 응력과 변형은 더 이상 스칼라나 벡터로 충분히 설명되지 않습니다. 이때는 행렬 또는 2차 텐서를 사용하여 이를 표현합니다. 이러한 다차원적 상황에서 응력과 변형은 각각 3x3 행렬로 표현됩니다. 변형 텐서의 각 요소는 물체의 특정 방향에 대한 변형률을 나타내며, 응력 텐서의 각 요소는 해당 방향의 단위 면적당 힘(응력)을 나타냅니다.

### 텐서의 좌표계 독립성

텐서를 사용하면 특정 좌표계에 종속되지 않고 물리 법칙을 일반적으로 기술할 수 있습니다. 예를 들어, 변형이나 응력이 다른 좌표계에서 어떻게 변환되는지를 쉽게 계산할 수 있습니다. 이러한 성질은 연속체 역학에서 매우 중요하며, 텐서 표현이 제공하는 일반성 덕분에 실제 응용에서 강력한 도구가 됩니다.

 

 

참고문헌

• Gonzalez, O., & Stuart, A. M. (2008). A First Course in Continuum Mechanics (1st ed., Vol. 42). Cambridge University Press.