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Semi-positive definiteness 행렬이 semi-positive definite라는 것은 그 행렬이 실수 대칭 행렬 (또는 적어도 그와 같은 특성을 갖는 행렬)이면서, 모든 eigenvalue가 0 이상이라는 것을 의미합니다. 구체적으로, 행렬 $A$가 semi-positive definite라면, 그 행렬의 모든 고유값 (eigenvalue) $\lambda_i$에 대해서 $\lambda_i \geq 0$ 입니다. 즉, semi-positive definite 행렬의 모든 eigenvalue는 0 이상이 되며, 이는 모든 선형 독립적인 벡터 $x$에 대하여 $x^T A x \geq 0$이 성립함을 의미합니다. 부동소수점 오차 컴퓨터의 부동 소수점 연산은 항상 미세한 오차를 동반합니다. ..

수학,물리/수치해석 2023. 8. 8. 12:23

$L_2$ 투영 $L_2$ 투영은 임의의 함수 $u \in L_2(\Omega)$를 유한 요소 공간 $V_h \subset L_2(\Omega)$로 간단하게 투영하는 것입니다, 여기서 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$는 도메인입니다. 수학적으로, 이는 다음과 같은 최소화 문제로 공식화될 수 있습니다: $u_h \in V_h$를 찾아서 $$J\left(u_h\right):=\frac{1}{2}\left|u_h-u\right|_{L_2(\Omega)}^2 \rightarrow \min$$ $J(\cdot)$은 볼록하기 때문에, 위의 문제의 해는 이 함수의 유일한 임계점입니다. 위의 함수의 프레셔 도함수 $D J\left(u_h\right)(\cdot)=\left(u_h-u, \cdot\r..

수학,물리/수치해석 2023. 7. 1. 21:35

아래 코드는 Pandas 라이브러리의 to_excel 함수를 이용해 DataFrame을 Excel 파일로 저장하는 방법입니다: import os import pandas as pd df = pd.DataFrame(data) filename = 'output.xlsx' # If file does not exist, write with header # If file exists, append without writing header if not os.path.isfile(filename): with pd.ExcelWriter(filename, engine='openpyxl') as writer: df.to_excel(writer, index=False) else: # else i..

프로그래밍/Python 2023. 7. 1. 21:33

충격파란? 연속체 역학에서의 shock wave(충격파)는 유체 흐름에 관련된 중요한 현상입니다. 유체가 속도에 따라 압축 가능한 경우, 빠르게 움직이는 유체가 느리게 움직이는 유체를 만나면 충격파가 발생할 수 있습니다. 충격파는 일반적으로 유체의 압력, 밀도, 속도가 극단적으로 변화하는 지점에서 발생하는 강력한 변화를 설명하는 데 사용되는 용어입니다. 이러한 극단적인 변화는 짧은 거리와 시간 동안 발생하며, 공기와 같은 매질을 통해 전달되는 에너지의 급격한 변화를 나타냅니다. 예를 들어, 초음속 비행기는 공기를 통해 움직일 때, 앞서 가는 비행기로부터 공기가 충분히 빨리 이동하지 못하므로, 비행기 주위에 공기가 압축되어 충격파를 형성합니다. 이 충격파는 소리보다 빠른 속도로 공기 중을 진행하며, 우리가..

수학,물리/연속체역학 2023. 7. 1. 21:29

LaTeX에서 텍스트를 굵게 표시하려면 \textbf{} 명령어를 사용하면 됩니다. 이 명령어 안에 굵게 표시하려는 텍스트를 넣으면 됩니다. 예를 들면: \textbf{This is bold text.} 이렇게 입력하면 "This is bold text."라는 문장이 굵은 글씨로 표시됩니다. 만약 수학 모드(공식 등)에서 굵게 표시하려면 \mathbf{} 를 사용할 수 있습니다. \mathbf{x} = 5 이렇게 입력하면 "x = 5"라는 수식에서 'x'가 굵은 글씨로 표시됩니다. 다만, \mathbf{}는 숫자와 영어 알파벳만 굵게 표시할 수 있습니다. 그리스 문자나 기타 특수 문자는 \boldsymbol{} 또는 \bm{}를 사용해서 굵게 표시할 수 있습니다(\bm을 사용하려면 bm 패..

LaTeX 2023. 6. 20. 22:51

시간 미분을 계산하는 것은 많은 과학 및 공학 분야에서 중요한 작업입니다. 이는 물리학, 공학, 컴퓨터 과학 등에서 주로 사용되는 시간에 따라 변하는 양을 모델링하는 데 필요합니다. 이 글에서는 시간 미분을 수치적으로 계산하는 몇 가지 방법에 대해 설명하겠습니다. 1. 전진 차분 (Forward Difference) 가장 간단한 방법은 전진 차분 방법입니다. 이 방법은 다음과 같이 계산됩니다: drho = (rho_next - rho) / dt여기서 rho_next는 다음 시간 스텝에서의 값이고, rho는 현재 시간 스텝에서의 값입니다. dt는 두 시간 스텝 사이의 간격입니다. 이 방법은 간단하고 빠르지만, 오차가 크게 나타날 수 있습니다. 2. 중앙 차분 (Central Difference) 오차를 줄..

수학,물리/수치해석 2023. 6. 16. 23:06

컴퓨터 과학에서는 '비트', '프로세서', 그리고 '아키텍처' 같은 용어를 자주 듣게 됩니다. 이들 용어는 컴퓨터가 어떻게 작동하는지 이해하는데 필요한 기본 개념들이므로, 이를 명확히 이해하는 것이 중요합니다. 이번 포스팅에서는 이런 기본 개념들을 살펴보며, 이들이 어떻게 상호 작용하는지를 설명하겠습니다. 1. **비트(bit)**: 비트는 "binary digit"의 줄임말로, 컴퓨터에서 사용하는 가장 기본적인 정보 단위입니다. 비트는 이진수, 즉 0 또는 1의 두 가지 값 중 하나를 가질 수 있습니다. 컴퓨터는 모든 데이터를 비트의 형태로 처리하고 저장합니다. 2. **프로세서(CPU)**: 프로세서, 또는 중앙 처리 장치는 컴퓨터의 핵심 부품으로, 모든 연산과 명령을 처리하는 장치입니다. 비트 수(..

프로그래밍 2023. 6. 16. 22:59

Python에서는 제곱근을 구하는 데 두 가지 주요한 방법이 있습니다: np.sqrt() 함수와 제곱 연산자 **를 사용하는 방법입니다. np.sqrt()는 NumPy 패키지의 함수로, 제곱근을 계산할 때 널리 사용됩니다. 이 함수는 각 요소의 제곱근을 반환하는 배열에 적용될 수 있으며, 이는 벡터화 연산에 유용합니다. 제곱 연산자 **를 사용하는 방법은 제곱근을 계산할 수 있는 또 다른 방법입니다. 1/2을 제곱하여 제곱근을 얻습니다. 예를 들어, x의 제곱근을 계산하려면 x**(1/2)를 사용합니다. 이 두 방법 모두 동일한 결과를 주지만, 사용상의 차이가 있습니다. np.sqrt()는 복소수에 대해 정의되지 않았습니다. 복소수의 제곱근을 계산하려면 ** 연산자를 사용해야 합니다. ** 연산자는 모든..

프로그래밍/Python 2023. 6. 16. 13:38