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정수 계획법 (Integer Programming)정수 계획법(Integer Programming, IP)은 자원 배분, 일정 계획, 네트워크 설계, 생산 계획 등 다양한 실세계 문제를 해결하는 데 사용되는 강력한 최적화 기법입니다. 정수 계획법은 의사결정 변수가 정수로 제한되는 최적화 문제를 다루며, 이러한 문제는 일반적으로 NP-난해(NP-hard) 문제로 분류됩니다.기본 개념정수 계획법의 주요 구성 요소는 다음과 같습니다:의사결정변수(Decision Variables): 문제의 결정을 나타내는 변수로서 정수 값을 가집니다.목적함수(Objective Function): 최적화하고자 하는 대상입니다. 최대화하거나 최소화할 수 있습니다.제약조건(Constraints): 의사결정변수가 만족해야 하는 조건들..

수학,물리/수치해석 2024. 5. 16. 06:31

https://arxiv.org/abs/2311.07173 Liouville type theorems for stationary Navier-Stokes equations with Lebesgue spaces of variable exponent In this article we study some Liouville-type theorems for the stationary 3D Navier-Stokes equations. These results are related to the uniqueness of weak solutions for this system under some additional information over the velocity field, which is usually s arx..

수학,물리/Arxiv 리뷰 2023. 11. 15. 09:08

원문: https://www.quantamagazine.org/mathematicians-coax-fluid-equations-into-nonphysical-solutions-20220502/ Mathematicians Coax Fluid Equations Into Nonphysical Solutions | Quanta Magazine The famed Navier-Stokes equations can lead to cases where more than one result is possible, but only in an extremely narrow set of situations. www.quantamagazine.org Mathematicians Coax Fluid Equations Into No..

수학,물리/연속체역학 2023. 11. 14. 22:31

이 포스팅에서는 유체의 모션(motion)을 기술하는 방정식인 오일러 방정식(Euler equations)을 유도해보겠습니다. 유체가 채워져있는 영역 $D \subset \mathbb{R}^3$를 생각하겠습니다. 시간 $t>0$에서 $\mathbf{x} \in D$를 지나는 유체의 입자를 생각해보겠습니다. 유클리드 좌표계를 도입하면 $\mathbf{x}=(x,y,z)$라고 표현할 수 있습니다. 이 입자가 유체의 흐름을 따라 움직이고 있다고 상상해보겠습니다. 이 흐름의 궤적(trajectory)는 잘 정의되어있다고 가정합니다. 이제 $\mathbf{u}(\mathbf{x},t)$를 이 입자가 $t$ 시점에 $\mathbf{x}$를 통과하는 순간의 의 속도라고 하겠습니다. 이제부터 영역 $D$를 유체 자체로..

수학,물리/연속체역학 2023. 11. 10. 17:53

텐서는 복잡한 다차원 데이터를 표현하고 조작하는 강력한 수학적 도구입니다. 수학, 물리학, 공학 등의 다양한 분야에서 활용되며, 특히 기하학적 변환과 물리적 상태를 표현하는 데에 있어 필수적인 요소입니다. 이번 포스팅에서는 n차 텐서를 정의하는 두 가지 방법을 알아보고, 그것들이 어떻게 상호 관련이 있는지 탐구해보겠습니다. ### 1. 다중선형 형식(Multilinear Form)으로서의 n차 텐서 다중선형 형식으로서의 텐서는 다음과 같은 형태로 정의됩니다. $$ T:V \times V \times \cdots \times V \rightarrow \mathbb{R} $$ 여기서 $T$는 n개의 벡터 공간 $V$의 직적(direct product)을 실수 $\mathbb{R}$에 매핑하는 함수입니다. 다..

수학,물리/연속체역학 2023. 11. 9. 17:59

우리가 일상적으로 경험하는 많은 물리적 현상은 벡터의 언어로 풀어낼 수 있습니다. 힘의 방향과 크기, 속도가 어디로 얼마나 빠르게 변하는지, 가속도가 주어진 물체에 어떻게 작용하는지 등은 모두 벡터로 표현이 가능합니다. 하지만, 모든 물리량이 이렇게 간단하게 벡터로 설명될 수 있는 것은 아닙니다. 특히 연속체 역학에서 우리는 벡터로 표현하기 어려운 물리량들을 마주하게 됩니다. 응력(stress)과 변형률(strain)은 바로 그런 예입니다. 이들은 단순한 방향과 크기로는 충분히 설명할 수 없는 더 복잡한 상호작용과 내부 구조를 가지고 있습니다. 이런 복잡성을 설명하기 위해 우리는 '텐서(tensor)'라는 개념을 도입합니다. 벡터와 텐서선형변환은 벡터 공간에서 정의되며, 벡터를 다른 벡터로 매핑하는 함수..

수학,물리/연속체역학 2023. 11. 9. 14:09

기계 정밀도(machine precision)는 컴퓨터에서 표현할 수 있는 가장 작은 양수의 차이를 나타내며, 이는 숫자 연산의 정밀도를 제한합니다. Python의 NumPy 라이브러리에서는 일반적으로 float64라는 데이터 유형을 사용하여 부동 소수점 숫자를 표현합니다. float64 데이터 유형은 64비트 부동 소수점 숫자를 표현하며, 이는 숫자를 표현하는 데 64비트를 사용한다는 것을 의미합니다. 이 데이터 유형의 기계 정밀도는 일반적으로 (2.220446049250313 \times 10^{-16})으로 표현됩니다. 이 값은 float64 데이터 유형으로 표현할 수 있는 가장 작은 양수의 차이를 나타냅니다. NumPy에서 이 값은 다음과 같은 Python 코드를 사용하여 얻을 수 있습니다:imp..

수학,물리/수치해석 2023. 9. 8. 18:43

Semi-positive definiteness 행렬이 semi-positive definite라는 것은 그 행렬이 실수 대칭 행렬 (또는 적어도 그와 같은 특성을 갖는 행렬)이면서, 모든 eigenvalue가 0 이상이라는 것을 의미합니다. 구체적으로, 행렬 $A$가 semi-positive definite라면, 그 행렬의 모든 고유값 (eigenvalue) $\lambda_i$에 대해서 $\lambda_i \geq 0$ 입니다. 즉, semi-positive definite 행렬의 모든 eigenvalue는 0 이상이 되며, 이는 모든 선형 독립적인 벡터 $x$에 대하여 $x^T A x \geq 0$이 성립함을 의미합니다. 부동소수점 오차 컴퓨터의 부동 소수점 연산은 항상 미세한 오차를 동반합니다. ..

수학,물리/수치해석 2023. 8. 8. 12:23